はじめに

動画での説明

・この記事の「概要・要約」はyoutubeの動画の冒頭にありますのでぜひ参照してください｡

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２次元曲線とはなにか､意味､定義､わかりやすく解説

たとえばこのような描画は奥行きが表現されていないので､２次元曲線である｡

いわゆる平面図などで主に用いられる図形である｡一点透視図法の正面の場合も､２次元曲線的であるといえる｡

パースで奥行を表現する場合､３次元曲線となる｡

この画面は一点透視図法なので､正面が２次元曲線的であり､側面は３次元曲線的であるといえる｡もっとも､ディスプレイに映っている画像は２次元のものであり､奥行があるように見せかけているにすぎない(例えばぬいぐるみの画像がどんなにリアルに見えてもつかむことはできない)｡

平面図における２次元曲線の転写のやり方

例えばこのような２次元曲線をもう片方に転写したい場合､どうすればいいのだろうか｡

まずデジタルなら複製したあとに左右を反転するような変形を行えばそれで終わりである｡アナログの場合はもう少し工夫する必要がある｡

[1]まずは曲線を四角形で囲む

四角形でまるごと囲むとこのようになる｡

[2]対角線を利用して転写する点を見つける

まずは四角形を複製する｡定規で測ってもいいし､対角線を利用して複製することもできる｡

対角線と交わる点Aを見つける｡

Aから右に直線を引き､対角線と交わる点をBとする｡このBが転写された曲線の指標となる｡

四角形全体の対角線を引き､曲線と接する点を見つけていく｡先ほどと同じ手順で引いていき､交点をC､Dとする｡

さらに四角形の中心を基準に直線を引き､その端へ下から線を引いていく｡この線と曲線が交わる点をE､Fとする｡

任意の点を転写したいときは四角形を利用する｡たとえばこのG点を転写したい場合､このG点を軸に四角形を作る(正方形でなくてもいい)｡

高さは任意でいい｡

この四角形を右にも複製する｡定規で測ってもいいし､対角線を利用してもいい(平面図なので収束せず､実寸の比率となる)｡

転写された先にある点がHとなる｡

AからHまでの交点をすべて表示するとこのようになる｡

任意の点はいくらでも増やすことができる｡点が多ければ多いほど指標が多くなるので､フリーハンドで転写しやすくなる｡必要な分だけ追加しよう｡(この曲線の場合は)４～６個あれば十分だろう｡できるだけ均等に配置すると描きやすい｡

[3] 指標を参考にしながら曲線を引く

これで２次元曲線の反転描写の完成である｡

【tips】曲線を模写する際､どこを指標にするべきか

微分積分を絵描きに役立てる

先ほど任意の(設置しやすい)指標を決めていったが､どういう点を指標にすればいいか困るという問題がある｡

数学では微分積分という分野がある｡簡単に言えば､曲線を直線的な視点から理解するための数学のことである｡私は数学が苦手なので詳しくはないが､しかし絵を描く際に明らかに有用になる知識であり､学ぶ価値があると考える｡

曲線を拡大していくと､ある点では直線に(極限的に)近づいていくと考えていくらしい｡このときの傾きを求める方法が微分である｡今回は難しい話は行わず､ざっくりとこの考えを理解していく｡

たとえばこのような曲線の場合､直線に近そうな点を見つけていくと､直感的にいえばこの辺りになるだろう｡

要するに､カーブしきった凸の一番大きなところ､いわば登りきった山頂(あるいはその逆)は目安にしやすい｡

数学的にいえば傾きが０のところとなる｡斜線ではなく水平に見えるイメージである｡

お気づきの方もいるだろうが､これは模写の際のテクニックにもなる｡

画像や写真､現物を参考にして曲線を目の前の紙に目視で写し取るとき､直線に見える指標を把握しておけば転写しやすくなる｡

もちろん数学的な計算によって割り出すことも可能かもしれないが､今回は触れない｡

微調整的な感覚を学習する

上手い人はこのような理論を意識して使わずとも､テクニックを無意識に使っているのかもしれない｡

AとBの線はBとCよりもすこし曲線的､すこし大きい､すこし直線的というような感覚がデッサンによって身についているケースだといえる｡そしてこの微調整的な感覚は微積分的な指標の感覚を意識的に身につけることで､学習の速度を高めることが可能になるのではないだろうか｡

もちろん､この指標を参考にして反転描写することも可能である｡

透視図における２次元曲線の転写

基本的にはさきほどの平面図の２次元曲線と同じ作業を行っていくだけである｡ただし､奥へ行けば行くほど短くなるという点を理解しながら線を引く必要がある｡

たとえばこのように立方体を構成してみた(二点透視図法における立方体作成方法については第六回の動画を参照)｡

【第六回】パース基礎:｢二点透視図法で立方体を作成する方法｣を解説

まずは側面に対角線を引き､２分割する｡次に､片側に適当に曲線を引く｡

この曲線を片側に反転する作業をこれから行う｡

基本プロセスは２分割した際にできた指標をコピーしていくというものである｡

この際､平面図のような真っ直ぐの線ではなく､消失点へむかって収束する線を引いていくことに注意する必要がある｡

交点をそれぞれA､Bとしておく｡

次は中心に線を引き､指標をコピーしていく｡この交点をそれぞれC､Dとしておく｡

四角形を適当に描いて､E､Fの交点を作っていく｡なんとなく盛り上がった箇所をできるだけ指標にしたい｡

AからFだけでも可能だが､念の為Jまで作ってみた｡

これらの指標を元に曲線を転写すると､このようになる｡

【応用】奥に２次元曲線を転写するケース

先程の立方体の奥に曲線を転写するにはどうしたらいいか､考えてみよう｡

位置でいうと､この緑の四角形あたりにさきほどの曲線を転写したい｡

[1] 対角線を書く

[2] さきほど作った曲線のなかで､対角線と接しているものを探し､奥に線を延長する｡

つまり､AとBを奥へと延長させることになる｡

AとBを消失点へと伸ばし､奥の対角線と接する点をマークしていく｡今回はA’とB’としておく｡

[3] 残りも延長させていく

たとえばCから消失点へと線を伸ばし､直方体(赤い部分)を作るイメージになる｡

これでC’の位置がわかった｡

D’の位置も同じように見つけていく｡

EFも同じように延長させていく｡

G~Jも同じように延長させる｡

すべて表示させるとこのようになる｡

指標を元に､曲線を描いていくと完成である｡

たとえばこのような形状を構成することができる｡

次回の予定

･(おそらく)パースグリッドについて考察する予定

参考文献

初心者でもわかりやすい本

ロビー・リー「超入門 マンガと図解でわかる! パース教室」

ロビー・リー「超入門 マンガと図解でわかる! パース教室」

・パース全般の基礎において一冊目にこれを手に取るのに適している｡ ・私は「パース！マンガでわかる遠近法」よりも平易に､かつ丁寧に説明されていると感じた｡それゆえに､初心者は特に一冊目にこの本をおすすめする｡

デヴィッド・チェルシー「パース！マンガでわかる遠近法

デヴィッド・チェルシー「パース！マンガでわかる遠近法

デヴィッド・チェルシー「パース！2 マンガでわかる遠近法

・イラストが多く､わかりやすい｡パースの基礎用語の説明もされていて､かつ平易にパースの使い方が説明されている良本｡ただし､建築パースに特化しているわけではなく､「イラストレーション(漫画)」に特化している点を注意する必要がある｡ ・パース全般の基礎を学ぶという目的において一冊目にこれを手に取るのに適している｡

上級者向け

「スコット・ロバートソンのHow to Draw -オブジェクトに構造を与え、実現可能なモデルとして描く」

「スコット・ロバートソンのHow to Draw -オブジェクトに構造を与え、実現可能なモデルとして描く」

絵を描く､特に線画に特化した本｡小難しいが広く､深く説明されている良本｡

山城義彦「現代パースの基本と実際」

山城義彦「現代パースの基本と実際」

・パースの歴史や細かい用語が説明されていて便利｡ただしメインはイラストレーションではなく「建築パース」に特化している点を注意する必要がある｡ ・かなり小難しく説明されている(建築パースゆえにそうならざるをえないのだろう)｡例えるなら文系が理系の数学を見たときのあの感覚に近い｡建築家ならば通らなければならない道ではある｡ただし､この本はだいぶ古く､現代ではコンピューターグラフィックスをもっと多用して楽をするのだと感じた｡ただし､楽をするにもその原理を知っておいて損はない｡

その他

参考サイト:パースフリークス(URL)

「デジタルアーティストが知っておくべきアートの原則 改訂版 -色、光、構図、解剖学、遠近法、奥行き」

「デジタルアーティストが知っておくべきアートの原則 改訂版 -色、光、構図、解剖学、遠近法、奥行き」

・全般的な絵の知識が語られている本であり､パースに割かれる箇所は少ない｡ただし､それなりにそれぞれ濃く説明されている本である｡ ・パースを学ぼうとしてとる本ではないが､絵の描き方を学ぼうとする場合は選択肢に入ってくる｡ただし高いのが難点｡

はじめに

動画での説明

・この記事の「概要・要約」はyoutubeの動画の冒頭にありますのでぜひ参照してください｡

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円とはなにか

円とはなにか､意味､定義､わかりやすく解説

次の項目で扱うが､主に正円(せいえん)と楕円の二種類に区別することができる｡

円の形をしている物はなにがあるか

サッカーボール､コイン､皿､ボタン､観覧車､水面の波紋､満月､水滴､年輪､車のタイヤ､ピザ､ホットケーキ･･･などたくさんある｡

今までの動画ではビルやサイコロ､立方体などの｢直線的｣な物を扱ってきたが､自然のものは｢曲線的｣な丸みを帯びたものが多い｡パースでは直線と曲線の２つをマスターすると､描くことのできる物が多くなるといえる｡そして円は曲線の一つであると言える｡

円の描き方を覚えて画力を上げる

もちろん円をマスターしただけで球体そのものが描ける訳ではないが､一歩近づいたと言える｡今までの動画では直線や立方体をマスターしたが､その応用として円や球体を描くことを目指すこともひとつの選択肢となる｡

もちろん､直線や立方体で妥協し､あくまでもパースでは｢あたり(デッサン､下書き)｣までとして､あとはデッサン力やリファレンス力(参照する力)で円を構成するという手もある(このほうが合理的だと私は考えている)｡リファレンスの中にはネット､参考書籍､カメラ､実物､さらには３Dツールによる作成が含まれている｡

正円と楕円の違いとはなにか

正円(真円)とはなにか､意味､定義､わかりやすく解説

楕円とはなにか､意味､定義､わかりやすく解説

もちろん､完全な正円などないように､完全な楕円というものも現実にはほとんど存在しない｡世の中のほとんどのものは厳密には綺麗な円っぽい形､楕円っぽい形というものがあるだけである｡

もちろんこれは極論であり､百円玉もよくみればギザギザしていたり欠けていたりする､画像は拡大すればドット単位でずれがあるといった人間にはほとんど日常生活においては視認できない､あるいはしないほどの近似のものがある｡

そこまで気にする問題ではない｡逆に言えば､そこまで神経質に完璧に線を構成する必要がないということでもある｡神経質になるあまりに絵を描くのが嫌いになったり､遅くなったりすることのデメリットは大きい｡常に完璧なほど美しいというわけでもない｡

オーバルとはなにか､オーバルと楕円の違い､円との違いとは

ここでは｢楕円や円に近い形｣の総称として扱う｡

たとえば卵は楕円っぽい形ではあるが､楕円のように綺麗な左右対称ではない(対称軸を一つしかもたないなど)｡

長軸線と短軸線

長軸線と短軸線の違いとはなにか､意味､定義､わかりやすく解説

軸線と正円の関係

たとえばこのような十字があるとする｡それぞれ９０度の線､つまり直角の線である｡もちろん十字自体が斜めになったりしても同じである｡お互いの線にとって相対的に９０度であればいい｡

ポイントは中心(center)から同じ距離にそれぞれの点があるということである(中心からの距離が同じ)｡

AB線も､CD線も中心から同じ長さのため､長軸と短軸という区別がない｡

したがって､この軸線から構成される円は基本的に正円となる｡

軸線と楕円の関係

AB線をCD線よりも長くすると､AB線が長軸線となり､CD線が短軸線となる｡

このケースであっても､それぞれの軸線は左右対称であるという点がポイントである(中心からそれぞれ同じ長さで構成される)｡

長軸線と短軸線という区別が可能であり､さらにそれらの軸線が中心から同じ長さだけ伸びた線である場合､楕円を構成することができる｡

要するに､短軸線と長軸線の長さの比によって､楕円の形状が決まるというわけである｡

それぞれの軸線の比率が1:1(1/1)の場合､つまり1に近づくほど､正円に近い円だといえる｡

正円と楕円とオーバルの違い､境界について

先程の楕円の場合は1:2なので､½=0.5となり､1とは離れてしまっていることが分かる｡

仮に1:1.2にすると､すこし正円に近づく｡

もし左右対称ではない線の場合､それを楕円の軸線とは表現しない｡

ただし､自然には完全に比率が1の円は存在せず､0.09や0.94など､不完全な円としてしか存在しない｡

楕円も同じであり､完全に左右対称の二軸ではなく､中心から左に1､右に0.9といったものも我々はきれいな楕円とみなしてしまうかもしれない｡

ここが大事なのだが､我々は完全な円や楕円よりも､すこし不完全な円や楕円を美しいと感じる場合もある｡デジタルの綺麗で無機質な線よりもフリーハンドで描いた線を美しいと感じた経験があるはずである｡

絵は１に近づけば近づくほどいいというわけではなく､必ずしもパースに正確であればあるほどいいというわけではないことを抑えておこう｡ただし､建築や製品開発では正確さが重要になることがあるので注意しておく必要がある(美しさよりも製品が機能するかどうかのほうが重要になりがちだから)｡

たとえば左に３で右に１のような軸線から構成される円は楕円ではない｡楕円っぽい円であり､オーバルだといえる｡※もっとも､このようなかたちになるかどうかも正直よくわからない(ここでは重要ではない)｡

正円は透視図法でほとんど楕円に見える

平面図で正円を見たケース

たとえば平面図で正円を見ると､このようにきれいな円に見える｡楕円には見えない｡

一点透視図法で正円を見たケース

一点透視図法の画面で見てみよう｡たとえばこのような角度で正円を見ると､楕円にしか見えない｡

正円をいくら増やしても､楕円にしか見えない｡

床にある正円を人間が通常の角度で見る場合は､正円に見えないことが多い(真下の床を見るケースなどは除く)｡しかし正確に言えば楕円にも見えないのではないだろうか｡なぜなら左右対称に､同じ幅に中心から線が伸びてない(ように見える)からである｡

もちろん自然な感覚として楕円には見えるのだが､楕円の定義としては誤りであるということになる｡なぜならこの一点透視図法の画面においては､奥へ行けば行くほど線が短くなって見えるからである｡そのため､軸線が中心から同じ長さで伸びているとはもはやいえなくなる｡

たとえば簡単な立方体を一点透視図法で描くだけでもそのことがわかる｡奥へ行けば行くほど､実寸では(平面図では)同じ長さの面が短くなっていくように見える｡

これは立方体における面でも当然生じていることであり､そのために左右対称の軸線ではなくなってしまう｡

ようするに､実寸では正円や楕円であっても､われわれがそれを我々の視点で自然に見るときには正円や楕円には見えなくなっているということである｡

我々が見ている丸っぽい形､円っぽい形はすべてオーバルであることがわかる｡実寸では左右均等だからといって､画面に左右均等に描いてはいけないのである(例外はたくさんあるが)｡この感覚をもっていることは重要である｡

左右均等に見える透視図のケース

もちろん左右均等に限りなく近く見える視点もある｡たとえば一点透視図法の場合は正面は収束しないため､平面図､実寸通りの比率に見える｡

ただし､正面以外の面は収束するので､すべてオーバル(楕円っぽい形)に見えてしまう｡

もちろんパースによってはほとんど左右対称にみえる場合もあるが､そうした立体感覚の機微を自然に身につけるためにもパースを学ぶ必要がある｡

パースを使わなくてもパースを意識して自由に紙に絵を描くことができるようになることが理想だと言える｡自然な形を脳内に埋め込むのである｡その意味で､パースを学ぶ作業はデッサンと同じだといえる(勉強の知識ではなく､体験による知識であると言える)｡

先程の画面でも､正面の場合は一点透視図法ではきれいな円が見えることが分かる｡ただし側面では実寸では正円であっても､オーバルに見える｡

二点透視図法で正円を見たケース

もちろん二点透視図法に切り替えた場合､さきほどの正面の円も､オーバルに見える｡

三点透視図法で正円を見たケース

三点透視図法も同様である｡

とはいえ､オーバルなのか正円なのか､微妙に判定しづらい場合がある｡この微妙な違いに対するセンスを身につけるためにも､パースを(アナログでも)勉強する必要があるといえる｡

パースの感覚を言語化するとは

パースの感覚を言語化すると有用かもしれない｡たとえば一点透視図法の場合､正面以外の面の円は遠くに行けば行くほど細く見える｡言い換えれば､正円はより楕円に近づくと言える｡

この法則を覚えておくと､アナログで自由に用紙に絵を描く場合に役立つかもしれない｡

この法則は二点透視図法でもあてはまる｡奥へ行けば行くほど､細く見えていく｡

こちらは三点透視図法のケースである｡一点透視図法よりは細長く見えない理由は､一度に見えるオブジェクト(対象､物)の数が少ないからだろう｡一点透視図法でいうところの､手前側のオブジェクトしか見えていない｡

画面外のオブジェクトも表示するとすこしわかりやすくなる｡

一点､二点､三点のそれぞれの変化の違いは微妙に違う｡それらを抑える感覚､言語化できる能力も必要になるだろう｡

そもそも画面の構成に対しての理解が前提として重要になってくるのかもしれない｡

たとえば見えている風景をどの範囲まで切り取るのか､どういう角度で切り取るのかといった理解がないと､どれくらい細くなるのか､どう形状が変化するのかを理解することは難しい｡

まずは立方体でその変化の感覚を複数の基本パターンで試して､身体感覚として身につけることが必要になる｡たとえば一点透視図法で上から見た場合はこれくらい変化する､二点透視図法でこのくらいの角度で見た場合はこれくらい変化する､という感覚を体に覚えさせるイメージとなる(この意味で､デッサンと近い)｡

レントゲン技師は鍛錬によってたんなる染みを病原と即座に見なせるようになるというが､絵師も同様ではないだろうか｡

楕円の中心はどこにあるのか

平面図における正円や楕円の中心

これ濃厚目は意外と難問である｡なかなか理解しにくい｡人によっては何を言っているかわからない人もでてくるかもしれない｡

しかし画像で見ていくと理解はよりしやすくなる｡

まず､平面図における正円の中心は当然､ここにある｡つまり､正方形の中心と同じ位置であり､対角線が交わる位置にある｡

違う言い方をすれば､実物としてはこの位置に中心があるということになる｡また､正方形の中心とも位置が重なる｡

透視図において楕円の中心は､収まる正方形の中心にあるように見えない

しかし透視図においては違って見えてくる｡

1. 透視図においては奥へ行けば行くほど幅が短く見える｡
2. 透視図においては対角線の交わる位置は平面図と同じように(実寸において)均等ではない｡

たとえば平面図において中心から奥への線が１０センチだとすれば､中心から手前への線も１０センチとなる｡

つまり割合は(実寸において)１:１である｡定規で測っても同じ比率ということになる｡

たとえば透視図においては､(平面図において10センチ:10センチであるにもにかかわらず)中心から奥への線が８センチ､中心から手前への線が９センチに見えるとする｡この場合に割合は８:９に見える(比率の数字は適当)｡

実寸大にも見えず､実際の比率と同じようにも見えないというわけである｡

楕円における2重の錯覚

さてここからが重要である｡

1. 透視図における正方形の中心に見える点は､正円の中心である｡正方形が奥へ行くほど短く見えるように､円も奥へ行くほど短く見える｡したがって､円の中心はやや奥側になる(手前が長く､奥が短く見えるため)｡
2. 透視図法の原理にもかかわらず､実際の楕円の中心は正方形の中心と同じ位置にあるようには見えない｡実際の中心は正方形の中心よりもすこし手前にあるように見える｡

正直､混乱する｡｢実物より違って見えるもの｣からさらに違って見えるというように､二重に違っているというややこしい構造になっているからだ｡また､言い方もややこしい｡平面図では正円に見えるが､透視図では楕円に見えるからである｡したがって､円の中心と楕円の中心が違うという言い方をすることもできる｡言い換えれば､実際の中心､原理の中心､見え方の中心の違いともいえる｡

この画像を見てもらえればすぐわかるのではないだろうか｡左の画像は平面図における実寸の分割線である(正円の中心)｡右の画像の黒い線は透視図における正方形の分割線である(原理の中心､ここにあるはずの正円の中心)｡緑の線は中心に見えてしまう線である(見え方の中心､楕円の中心)｡黒い線の位置が円の中心であるはずなのに､円の中心には見えないというわけである｡円の中心はすこし手前に見える｡

すこし複雑なのでもう一度整理して言い直そう｡まず､平面図における黒い線がこちらである｡

平面図なので当然､１:１の位置にくる｡つまり実物と同じ比率で円が構成される｡

透視図法でさきほどの円を見てみると､黒い線の位置が円の中心には見えない｡円の中心とは要するに一番盛り上がっている､幅が広い位置である｡しかし黒い線よりもどうも幅が広い線があるように見える｡

下の画像は二点透視図法だが､やはり黒い線よりも幅が広い線があるように見える｡

絵を描く人が重視するのは｢透視図法において中心である位置｣ではなく､｢我々人間の目において自然に､中心に見える位置｣である｡建築家の人にとってはある意味では透視図法における見え方はあまり大事ではなく､まずは平面図においてどのように構成されているかが第一だと言えるかもしれない｡自然に見える建築をしても実際に歪んでいたら建物が不安定になる｡

絵を描く人たちは楕円の中心がパースにおいてどの位置に､どの比率において一番自然に見えるかを学ぶ必要がある｡言い方を変えれば､絵を描く人たちはマジシャン(錯覚を利用する技術者)であるともいえる｡

透視図法における楕円の中心は､実寸の半分の位置にある？

1. 平面図における正円は､各軸線の比率が1:1である｡
2. [第一の錯覚]透視図における正円は､各軸線の比率が1:1ではなく､手前が少し長く､奥が少し短く構成された位置に中心がある(すこし奥に中心がある)｡
3. [第二の錯覚]透視図における正円の中心は､(2の中心ではなく)透視図において見えている軸線の実測の長さのちょうど半分の位置にあるように見える(すこし手前に中心がある)｡

要するに､この長さを定規で測って､半分の位置に我々が自然に見える円の中心があるということになる｡

実際に合わせてみると､確かにこの位置が｢われわれが自然に中心に見える｣気がする(最も幅が広いように見える)｡

だいたい1/16くらい透視図法における中心位置から手前にある

とはいえ毎回測るのは大変なので､だいたい1/16くらい透視図法における中心位置から手前にあると暫定的に法則化しておくことにする(正確な数値ではなく､あくまでも暫定である)｡※これも正確にやると大変なので､ざっくりでもいいかもしれない｡

透視図法における正円の描き方

平面図における正円の描き方

まずは平面図でそもそも円をどうやって描くのかという問題がある｡デジタルなら円ツールで描けばいいし､アナログならコンパスで描くのが楽だ｡

とはいえそれは平面図の話であり､透視図に応用させることが難しい(コンパスを透視図に活かす方法もあるかもしれないが､今回は触れない)｡もちろんデジタルではパースツールで円を描くという方法があるが､このシリーズは基本的にアナログでもできる方法を扱っているので触れない｡

今回は幾何学的な知識を用いて円を構成したいと思う｡まずは正方形を作り､その正方形を分割していって円の指標を探そうという試みである｡

そもそも正方形はパースにおいてどう作るのか､という点に関しては以前の動画を参照してほしい(一点､二点､三点透視図法のそれぞれで立方体を構成する方法を扱っている)｡

まずは平面図から扱う｡

一辺が実寸通り同じ長さの正方形を用意する｡

さらにここから8分割する｡定規で測ってもいいし､分割線を利用してもいいだろう｡

外側のマスにそれぞれ対角線を引いていく｡

分割線といちばん近い角から伸びる斜線が交差するところに印をつけていく｡

今つけた印を目安に構成していけば比較的綺麗な円が描けるというわけだ｡

とはいえ､めんどうだなと感じてしまう｡

そもそも直線以外を幾何学で構成するというのは複雑すぎて向いていない気がする｡あくまでもこれくらいのサイズというアタリとして利用するべきだろう｡

昔､5344という法則を見つけたことがある｡これも正確ではなくアタリとしてしか利用できないが､なかなか便利だと思った｡

まずは適当に正方形を4分割する位置を見つける｡別に印をつけなくとも､頭の中でつけるだけでもいい｡

さらにそこから､1/4を足して5になる位置を４つ探していく｡

５の位置から4の位置に向かって線をそれぞれ角でひいていくだけで終わりである｡これが円を描く際の目安になる｡

円を構成するとこのようになる｡これが実用的かどうかはわからない｡このようにして自分なりの楽な方法を見つけてほしい｡

他に有名なものとしては､中心から2/3の位置に印をつけるという方法がある｡

この方法が一番やりやすいかもしれない｡

しかし斜線から2/3もしくは1/3を見つけるというのは意外と感覚としては難しい｡用紙を回転して直線として扱うと､もうすこし分割しやすくなるかもしれない｡

ちなみに正方形の斜線(対角線)はルート２なので､一辺を１とすれば1.4くらいである｡つまり､中心から2/3とは､ルート２の半分の2/3であり､およそ0.47くらいになる｡仮に0.5とすればスッキリするが､誤差は大きくなる｡0.5よりほんのすこし短いという感覚を残せば､誤差はより小さくなるだろう｡

そもそもデッサン力をつけて正方形がなくても任意の円を描けるようにしたらいいという意見もあるかもしれない｡あるいは正方形からデッサン力によって円を描く力をつけることも可能かもしれない｡

いずれにせよそれは平面図のはなしであり､そもそも目的の達成だけならばコンパスや円ツールを使えばいいということになる｡今回は透視図法で使うために幾何学的な手法を学んでいる｡

透視図における正円の描き方

このように収束していく正方形､ようするに台形で円を描く場合は幾何学の目安が役に立つ｡

もちろんこれらの形状をデッサン力で身につけることも可能かもしれないが､まずは正解の形を見て描いて覚える必要がある｡

分割法を使って､８分割していく｡まずは対角線で４分割する｡

平面図と違い､一点透視図法の消失点に収束するように分割していくという点が重要になる｡

８分割するとこのようになる｡

スッキリさせるとこのようになる｡

さらにここから平面図でやったように､対角線を隅に作っていく｡

印をつけていき､それを指標にして円を構成する｡

円を構成するとこのようになる｡

tips､画力､立体感覚

目印があっても円を構成するのは難しい｡おそらく慣れなのだろう｡正確に円を描く作業はアナログでやるよりデジタルを下敷きとしてトレースするか､それを参考に描いていったほうが良いのではないかと思う｡

大事なのはなんとなく正解を頭に入れて､なにもパースの設定をしていないときでも近似した円をフリーハンドで描くことのできる立体感覚だろう｡そのヒント､いわゆるtips(ちょっとしたコツ)を集めていくことがアナログのパースを学ぶ理由となる｡このtipsの差が画力の差となる｡

ところで､あんなにややこしい話をした円の中心がズレるという話はどこにいったんだと思った人がいるかもしれない｡

たしかにそうだ｡いわゆる1/16指標を今回利用していない｡正確に言えば､円ツールでズルをして描いてしまったので必要がなかったということになる｡限られた指標の点だけを使ってきれいな円を描くことは実際難しい｡もっとヒントやtipsはないのかという話になる｡

円の中心がズレることと､円の描画の関係

ところで､あんなにややこしい話をした円の中心がズレるという話はどこにいったんだと思った人がいるかもしれない｡

たしかにそうだ｡いわゆる1/16指標を今回利用していない｡正確に言えば､円ツールでズルをして描いてしまったので必要がなかったということになる｡限られた指標の点だけを使ってきれいな円を描くことは実際難しい｡もっとヒントやtipsはないのかという話になる｡

1/16指標は円を構成するときの参考のひとつになるだろう｡なぜなら､その指標の位置は円の最大幅と合致するからである｡すくなくとも､その点は線が急カーブしていない｡

右の図は1/16の位置である｡

このあたりはカーブしていないな､という指標だけでもヒントとして重要ではないだろうか｡

※微分積分などの知識があると､もっと言語化することが可能になるのかもしれない

円柱における垂線はどのあたりに引けばいいのか問題(円柱の描き方)

たとえば円柱を作る場合に､この指標を基準にして作ってみる(この方法が正しいかはひとまず置いておく)｡

円の中心の場合はこうなる｡

なんとなく1/16指標のほうが自然に見える気もする｡

私の描き方や円の消し方のバランスの問題もあるので､あくまで仮説にとどめておく｡

円柱を構成する際に円から円へ下ろす場合の線は３つに絞ることができる｡第一に円の中心､第二に1/16の指標(楕円の中心)､第三に接点(最大幅に見える点)である｡

第三の方法はようするに､柔軟に一番自然な位置にとりあえず線を引いてみるという手法である｡今のところ柔軟な方法である接点のケースを最良の方法と仮定する｡ただし､円柱に限っては1/16の指標も有用だと仮定できる｡両者は近い点にあるといえる｡

接点のケースでは､一番幅が高く見える点を選んで線を下ろしてみた｡

それぞれの比較｡

透視図法における楕円､三角錐の描き方

透視図法における楕円の描き方

やり方は基本的に正円と同じだと仮定していく｡

たとえば長軸を2倍にすれば､楕円を構成することができる｡先程の正方形を長方形にすればいい｡

正円でやったように､対角線を作って指標を見つけていく｡

あとは指標を目印に円を描いていくだけである(これがなかなかフリーハンドだとおそらく難しいのだが)｡1/16線を今回は利用していないが､中心からすこし手前にも最大幅がくることを考慮して円を描く必要がある｡

正円と楕円を並べるとこのようになる｡

透視図における三角錐の描き方

ところで､三角錐ならもっと楕円の中心が手前になるという点が理解しやすいのではないかとふと思った｡

たとえば円の中心(長方形の中心)を基準に三角錐を作った場合はどうなるのか｡

図にするとこのようになる｡

しかしどちらのケースもどこか違う｡つまり､きれいな円錐を構成できるようには見えない｡

むしろ円の中心のほうが惜しい感じさえする｡つまり､円錐を作る際は円の中心の手前ではなく奥を基準に構成するほうが自然に見えるのではないかという仮定が生じる｡

そこで､三角錐の頂点から線を伸ばしていき､最初に接する点にしてみた｡

なかなか悪くない円錐ができた気もする｡

この辺りは正確な理論を知るというより､どれが自分にとって一番自然に見えるのかも重要になるのかもしれない｡

いずれにせよ学習のログ(履歴)を残しておくことは大事だろう｡不自然なものを捨て､自然なものを選んだ先に美しいものがあるかもしれない｡戻るためにもログは必要になる｡

1/16ケースを用いて､はみ出た部分をすべて削除することによって対処しても､あまり自然にはみえない｡

※円柱や円錐については幾何学的な理論を学んでから再度考察する必要があるかもしれない｡

楕円の中心ではみ出た部分を削ったケースとの比較がこちらである｡

正円で作った円柱の比較図がこちら｡正直よくわからない｡

自然に見える接点を自力で探すという方法をまずは最善の仮説として採用しておくことにする｡

ちなみにblenderの自然な円錐はこちらである｡ある意味､正解に近いものなので､こうした形を参考に自然な形を目指していけばいいのかもしれない｡

※右の画像はカメラの角度や視円錐､位置などを正確に合わせているわけではないので､自然に見える角度の正解を今回のケースと比較しているわけではない｡blenderの操作方法を覚えていずれは正確に比較してみたい｡

たとえばこんなかんじで遊ぶこともできる｡

どんな複雑な形もベースは直線と曲線なので､ほとんどの形の｢あたり(下書き､位置確認)｣として応用がきく｡

参考文献

初心者でもわかりやすい本

ロビー・リー「超入門 マンガと図解でわかる! パース教室」

ロビー・リー「超入門 マンガと図解でわかる! パース教室」

・パース全般の基礎において一冊目にこれを手に取るのに適している｡ ・私は「パース！マンガでわかる遠近法」よりも平易に､かつ丁寧に説明されていると感じた｡それゆえに､初心者は特に一冊目にこの本をおすすめする｡

デヴィッド・チェルシー「パース！マンガでわかる遠近法

デヴィッド・チェルシー「パース！マンガでわかる遠近法

デヴィッド・チェルシー「パース！2 マンガでわかる遠近法

・イラストが多く､わかりやすい｡パースの基礎用語の説明もされていて､かつ平易にパースの使い方が説明されている良本｡ただし､建築パースに特化しているわけではなく､「イラストレーション(漫画)」に特化している点を注意する必要がある｡ ・パース全般の基礎を学ぶという目的において一冊目にこれを手に取るのに適している｡

上級者向け

「スコット・ロバートソンのHow to Draw -オブジェクトに構造を与え、実現可能なモデルとして描く」

「スコット・ロバートソンのHow to Draw -オブジェクトに構造を与え、実現可能なモデルとして描く」

絵を描く､特に線画に特化した本｡小難しいが広く､深く説明されている良本｡

山城義彦「現代パースの基本と実際」

山城義彦「現代パースの基本と実際」

・パースの歴史や細かい用語が説明されていて便利｡ただしメインはイラストレーションではなく「建築パース」に特化している点を注意する必要がある｡ ・かなり小難しく説明されている(建築パースゆえにそうならざるをえないのだろう)｡例えるなら文系が理系の数学を見たときのあの感覚に近い｡建築家ならば通らなければならない道ではある｡ただし､この本はだいぶ古く､現代ではコンピューターグラフィックスをもっと多用して楽をするのだと感じた｡ただし､楽をするにもその原理を知っておいて損はない｡

その他

参考サイト:パースフリークス(URL)

「デジタルアーティストが知っておくべきアートの原則 改訂版 -色、光、構図、解剖学、遠近法、奥行き」

「デジタルアーティストが知っておくべきアートの原則 改訂版 -色、光、構図、解剖学、遠近法、奥行き」

・全般的な絵の知識が語られている本であり､パースに割かれる箇所は少ない｡ただし､それなりにそれぞれ濃く説明されている本である｡ ・パースを学ぼうとしてとる本ではないが､絵の描き方を学ぼうとする場合は選択肢に入ってくる｡ただし高いのが難点｡

平行投影とは？

図法幾何学を学ぶ意味と問い

武道家は縄跳びで体力をつけることがある。しかし実際の戦いで縄跳びを使うことはない。

私にとって図法幾何学を学ぶことは「縄跳び」に近い。武道家は体力をつけるたびに縄跳びをするが、「空間把握能力」を身につけるために図法幾何学を学ぶ意味があるのではと思った。空間把握能力は絵を描く人にとって武闘家の体力に相当するものだと思う。あるいは相手との距離のとり方の練習でもなんでもいい。

空間把握能力がなくても絵は描ける。しかしあったほうが幅が広がると思う。なぜ自分の絵は美しくないのか、と壁を感じた場合の解決法の一つに自分の基本的なスキルを磨くという手段がある。

図学を学ぼうと思ったきっかけはblenderで平行投影と透視投影という用語が出たことにある。理解しないでもきっとblenderは使っていける。しかしもどかしい。理解したいと思った。

私は絵描きではないし、図学を実務として仕事で使う建築家でもない。そうした人たちが絵を学ぶときにつまずいた時、ショートカットできるような道筋を建てたいと思い記事を書いている。

絵を描くことが目的なはずなのに、調べることばかりで技法にこだわりすぎて絵を描けない人(私のような人)もいる。そういう人たちの調べる手間を省けるように道筋を残したい。

ここまで大言壮語したはいいが、図学はかなりとっつきにくい分野だ。透視図法(パース)も同様にとっつきにくいが、図学も同じくらいそうだ。

ほんとうは平行投影と透視投影を同時に解説し、その違いについて解説しようとしたのですが、２つにわけることにしました。というより透視投影がかなり難解なので後回しにします。

透視投影

平行投影

私の直接的な理由は「ルーミスの顔は実は平行投影的で、自然ではないのでは？」という疑問に対する解答のための学習です。ルーミスの顔を見ていて、あれ、これ他の頭部に比べて大きすぎないか？と思うことが多々ありました。個人差(あるいは当てはめのミス等)があるので「ヨソハヨソ」と済ませる方法も思案しましたが、モヤモヤがあると前に進めないタイプなので学びます。

図面の果たす役割

「図面の描き方が優しくわかる本」(西村仁)では図面の果たす役割を以下のように示している(20P)。

１：頭の中で考えたことを、誰もが見えるように描き出すこと

２：描き手の意図を、読み手に確実かつ容易に伝達すること

３：情報を保存すること

なるほど図面にはそういった役割があるのか。絵の分野でも仕事の依頼を受けて、キャラクターの三面図を求められることがあるだろう。そこでもやはり自分の考えるキャラクターのイメージを正確に伝える手段や、他の人が動かすための情報としても有用になってくるのだと思う。

ただし、消しゴムやホチキスなどの工業用品と違い、人間はかなり複雑だ。はたしてこれから学ぶような工業的な平行投影が役立つかどうかはわからない。

平行投影を頭の中でパースと結びつけて、自然な絵を構成できるスキルというものがあるのだろうか。最初から透視投影を描けばいいのだろうか。あるいは両方なのか。なかなか難しい分野に頭を突っ込んでしまった。

欠点１：見えない面に加工があれば、追加の立体図が必要になる

欠点２：斜め線が多くなり、描きにくい

欠点３：立体図に寸法などの情報を書き込みにくい

欠点４：見えない面への表面粗さ情報などが記入できない

同じ本の中に、以上のような立体的な絵の弱点も書いてある(51P)。とはいったものの、一般的な人が絵を描く際に、このようなことは気にしない。つまり投影法について深く学ぶ理由はないのではないか？という考えが頭をよぎる。しかし空間把握能力、論理的思考能力、図形把握能力等々を鍛え、さらに遠近法(パース,透視図法)を理解するための前提知識にもなりうるのではないか？という考えも頭によぎる。blenderでも投影法を使ったカメラのテクニックがあるそうだ。興味深い。

結果的に、ざっと浅くてもいいので学ぼうと思いました。実際CADや3dcgソフトで簡単にできてしまうことも多いので、使わなそうな技法や数学的な側面へはあまり深入りせずに行こうと思います。とはいっても簡単な数学には触れたいと思います。

絵を描くために必要な図学の知識とは？という視点の記事のため、建築設計で必要な知識とはすこし違うかもしれません。

角度

絵を描くための角度感覚について

この線の角度は何°？

まず基礎体力として使えそうなのが「角度」を気にすることである。模写でもそうだ。この線とこの線の関係は30°くらいだな、と頭に入れて描くと意外とうまくいったりする。角度の感覚は絵の上達方法の一つに入れてもいいと思う。プロ野球選手が投げる場所を細かく定めるように、絵を描く際も角度を意識してみるといいかもしれない。

15°単位にするか、30°単位にするか、幅は自由に設定していいと思う。細かいほど正確になるが、細かすぎると頭がパンクしてしまう。

しかし角度はどのように考えたらいいのだろうか。分度器だろうか。cadではマイナス45°という概念もあったりする。右側が45°なら、左側のマイナス45度に相当する角度は135°になる。そもそも右側が135°と書いてある分度器もある。角度は面倒だ。この項目では図学というより、角度について絵に通ずる面を考える。

分度器には半円分度器と、全円分度器の２つが主にあるそうだ。右下斜45°と伝えたい時の角度を考えると・・360°と270°の中心は・・・315°ですね。右下斜45°に線を引いてください！と伝えるのと、315°に線を引いてください！はどちらが伝わりやすいのだろうか。あるいは図学ではどのように伝えるのが正しいのだろうか。

角度とは？

さきほどのベジータさんの線の角度の話に戻ろう。このベジータさんの角度は145°である！という答えは正しいのだろうか。

たしかに間違っていない。ただ直感的ではないような気もする。

たとえば135℃の角度がある線を描いてくださいと言われて上記のような線はほぼ描けないだろう(?)。描けたとしてもわかりにくいし、直感的ではない。もっとも線を構成するためには角度だけではなく、長さも必要だ。これは相対感覚の記事で扱おうと思う。

出典

角度はそもそも頂点とそこから伸びる直線によって形成されている。頂点を英語でvertex、線を英語でrayという。

線画の角度について

今回のベジータさんの線をこのように当てはめてみました。

ray1とray2からなる角度が145°の大きさであることはわかります。しかしそれだけでは使えません。rayが完全に水平、あるいは垂直であればわかりやすいのですが、今回はそうではないのです。ちなみにこのような角度を鈍角といいます。

仮想のray

さてまずra1でもray2でもいいのですが、その角度を求めていきます。この仮想のrayは用紙や画面に対して平行な、真横の線である必要があります。この仮想のrayとray1からなる角度の大きさは50°です。別の言い方をすれば、rawは右上に50°伸びている線という言い方ができます。

仮想のray

ray2でも仮想のrayを用意します。仮想のrayとray2からなる角度の大きさは15°です。別の言い方をすれば、左下に15°伸びているという言い方ができます。もしray1とray2の角度の大きさを計算するとすれば、(180-50)＋15=145°です。

線画の相対感覚

もし相対感覚を使って線を把握するとしたらどうなるでしょうか。ray2はray1の何倍でしょうか。斜めに伸びる線は難しいですよね。ray1が3だとすれば、ray2は5くらいです。つまり5/3倍なので、1.66倍くらいになるわけです。頭の中でray1を10分割して、まず半分を伸ばします。これで1.5倍です。そこから1.6を付け加えるとすると・・・半分の線の2/5で1.7だから・・とややこしい。他にいい方法があるのかもしれないが、これは本来デッサンで繰り返し磨くスキルでもあります。

絵の巧さのひとつに目で見たものを描くというスキルがあるのですが、その際にこの角度感覚と相対感覚は必須スキルになるのではないでしょうか。天才肌の人はなんとなくできてしまうし、努力家の人はデッサンの積み重ねで空間把握能力や相対感覚を身につけていると思います。天才でもないし努力家でもない人は私のように(大袈裟な言い方かもしれませんが)論理的に線を形成するほうがむいているのかもしれません。

あるいは論理的に線を形成する意識を頭の隅にいれながら、何度も努力してデッサンを行うというハイブリット型もいいのではないでしょうか

図学における角度

出典

いわゆる「角度寸法」というやつです。-30°とか、120°とかそういう言い方をしないんですね。

図学では基本的に角度は度(°)であらわすそうです。円の一周を360°とする単位です。１°の1/60の単位を1分、1分の1/60の単位を秒で表すそうです。度以外にラジアンの単位で表すことがあるそうです。

例題１:この線は何°の大きさか？線Aと仮想の平行線からなる角度の大きさは？線Bと仮想の平行線からなる角度の大きさは？

例題１

投影と作図

投影とは？

レンダリング後

Blenderでカメラを操作する時に、枠のような物が出る。透視図法ではPP(画面)といわれる枠だ。カメラの用語で言えばファインダーだろうか。

これが投影面といっていいのだとおもう。立方体をどのような角度から投影させるのか、どれくらいの距離で投影させるのか、平行か、透視かといった問題が次に出てくる。

投影面とは

WIKIの画像を借りてみました。これが投影面なんですね。透明の四角い定規を立方体の前に合わせているようなイメージでしょうか。

平行投影とは

何を言っているかわからない。初めて何かを学ぶ時は、往々にしてそういうものである。私も今書いていて、さっぱりわかっていない。

とりあえず平行なんだな、ということはわかった。

blenderにも平行投影、透視投影という用語がある。実際に試してみよう。

透視投影の場合

まずは透視投影のレンダリング。

平行投影のレンダリング

次は平行投影のレンダリング。

同じ画面なんですが、わかりにくいですね。しかしよく見れば大きな違いに気づきます。

そうです、平行投影の場合は大きさが奥へ行っても変わってないのです。

透視投影

平行投影

もう一度違うオブジェクトで比較してみます。

透視投影のほうは奥にいけばいくほど小さく、短くなっていきますが、平行投影の方は同じ大きさです。

更にわかりやすいものを見ていきましょう。動画だとわかりやすいです。今度は人間で試します。透視投影と平行投影を繰り返し切り替えているだけです。

透視投影の場合は近くにあるものが大きく、遠くにあるものが小さく見えます。

透視投影

平行投影

人間の頭部の場合は目鼻のほうが近くにあり、側頭窩は遠くにあります。したがって透視投影のほうが眼や鼻が大きく、側頭窩付近が小さく見えるのです。平行投影の場合はそうした差をつけずに均一に扱います。

美に関する問題だと、どちらのほうがいいのでしょうか。人それぞれで済ませるのは簡単ですが、ここを熟考するべきだと思います。一般的には透視投影のほうが人間の目には自然に見えるようです。

美しいと思えるような視点を探すのも楽しいと思います。より写実的なものを目指すのか、人工的なものを目指すのか、折衷か、あるいは第三のものか、たくさんあると思います。

とはいえ平行投影は基本的には工業分野で使うような印象があります。blenderも作業中に「実際の長さは同じなのに見え方が違う」と作業しにくいので平行投影に変えて編集するといったことをよくします。

机の設計図で透視投影がつかわれていると、手間と奥じゃ長さが違う板なのか？と勘違いされてしまうかもしれません。定規で図っても同じ長さになるのが平行投影です。

円柱の場合もわかりやすいですね。平行投影の正面から見た形は、ほぼ直線ですよね。長方形のような形をしています。

やっぱルーミスの顔はでかいんじゃねーかと再度思う私です。

正投影

この辺からすこし私の頭はくらくらしてきます。

正投影とは

右上のELEVATIONが正投影ですね。

たしかに立方体から投影面にかけての線(投影線)がまっすぐですね。

まっすぐというといろいろややこしいです。垂直に伸びてますね。

出典

正投影の垂直

垂直という言葉もややこしい。投影面をCDと仮定すれば、たしかにABにあたるような線が伸びていますね。垂線であるということは、角度が90°ということになります。

また透視投影とは違って、投影面に一つの面しか表示されていませんよね。ひとつの面というのが、このケースでいうと「正面」になるわけです。この面について次の項で学びます。

第三角法とは

第三角法と三面図(平行投影の場合)

透視投影の場合

とりあえずそれっぽいものを本を参考に作ってみました。実際は破線が入るので同じではないですが、イメージはしやすいです。

３点のどの方向から見ても長さに遠近感がないので、絶対値としてグリッドが使えるということでしょうか。右上は三面図とは違いますが、余ったので斜めからみてみました。

blenderでは正面がフロント、水平面がトップ、右側面図がライトと表示されています。Front view,Top view,Right viewの３つですね。

透視投影だと円柱の丸みが右側面でもはっきりわかりますね。平行投影だとほぼ直線です。丸みは水平面で確認しないとわかりません。

立方体の三面図

仮に立方体の三面図を作成したらこうなりますよね。正面、水平面、右側面、どれも同じです。

円柱の三面図

円柱のケースです。円柱の丸みがFやRでないじゃないか！まるで直線だ！と思うかもしれませんが、設計者の方はTで丸みがあることを脳内で補完して考えています。右上は平行投影ですが、立体感がありますよね。このような見方を平行投影では軸測投影といいます。平行投影には正投影と軸測投影がありますが、三面図の正投影のほうがよく使われるようです。立体的な軸測投影は便利そうですが、実際に設計する際にスケールがわかりにくいので不便だそうです。顧客の人にこのようなものができますよ、と提示したり商品説明で使う際には軸測投影が便利になるのかもしれません。

機械製図において平行投影は大事ですが、イラスト作成において平行投影が大事かどうか、正直わかりません。よく三面図でつくった人間は不自然だといわれる理由と関係しているのだと思います。自然な見え方は透視投影のほうにあるからです。ただ正確なものづくりという点では平行投影が大事だというのもわかります。

blenderで人間を作る場合は平行投影と透視投影を頻繁に行き来して、不自然にならないように調整したりしますよね。バランスが重要だと思います。平行投影のみの表示で人間を造形しようとすると、失敗してしまうかもしれません。あれ平行投影で完璧に作ることができれば透視投影に表示を変えれば済むのでは？という考えが頭をよぎりますが、人体を平行投影で完璧に作るというのがおそろしく難しいんでしょうね(?)。

軸測投影

何を言っているかわからない。そりゃそうですわからないです私も。わからないことを認めるというのは立派な前進です。

ということで、”どこが”わからないかを整理します。

等軸測投影(アイソメ)とは

まず投影面に対して対象物を斜めに配置するとは？

対象物を斜めから見ている状態

まずこれは対象物を斜めから見ている状態です。

対象物を斜めに動かして正面から見ている

これは対象物を斜めに動かして正面から見ている状態です。

形は同じですよね。しかし後ろのグリッドをみれば違いがわかります。斜めから見ていると、グリッドも斜めになっています。

対象物を斜めに動かしてから正面で見ている方は、グリッドがまっすぐ(垂直と平行)になっています。

だからなんだ？と言われたら閉口します。ただその違いを見つけました。

正投影から等軸測投影に変えてみる

立方体の三面図

これは正投影の三面図です。

等軸測投影の場合は、線が0.81倍に縮小されるそうです。

等軸測投影

正投影のときの一辺の長さを１００として、８１の線を引いてみます。

等軸測投影

等軸測投影の場合は３辺が同じ長さで、角度が１２０°ごとになります。360を３で割ると120ですよね。それぞれ120°になるように、81の長さを設定します。

等軸測投影

さらにここから平行な線を同じ長さの81だけ伸ばしていきます。

等軸測投影

あとは垂直線をまた81伸ばせば完成ですね。

等軸測投影

おそらく破線で表示したりするのでしょうが、今回はパスします。

たしかに実寸より縮小されるとはいえ、全部の長さが同じなのでわかりやすいですね。描きやすいともいえます。

対角に位置する頂点が投影方向に一致している？

等軸測投影？

よくわかな。とりあえずblenderで斜めに配置を変えた状態の三面図を陰影ありで見てみます。

正直配置方法もよくわからないんですよね。

等軸測投影?

たしかに投影線がまっすぐのびてそうです。

等軸測投影？

ワイヤーフレームで表示させるとより明確になるのですが、たしかに対角線の頂点が正面で一致しています。

Z軸に45°

まずZ軸に45°回転させます。

X軸に35°

次にX軸に35°回転させます。これで等軸測投影のような見方ができます。しかしなぜ35°でできたのかわかりません。

30°

３０°だとあきらかに等軸測ではないんですよね。

ディスプレイにアナログの分度器を乗せてみると、Xを35°に回転させた時、正面では30°、右側面では35°でした。

なるほどわからん。ですが等軸測投影では正面で30°になるらしいので、これは正しいんです。ここが30°ということは180-(30*2)=120なので、120°が３つできていますよね。

ちなみに35°の反対は55°でした。したがって、右側面は180-(35+55)=90°です。　

詳しい理屈はわかりませんが、正面で30°にするためには、側面で35°にしないといけないのではないでしょうか。

立方体は絶対としてはたしかにひとつの面の角度は90度になります。しかし正面は30°なので、ひとつの角度が60°にみえていることになります。

したがって、右側面で180-(35+55)=90°になるのはなにか意味があるのではないでしょうか。

実際に１０ｍｍの長さはA’－O’になります。しかし図のように傾けるためのA－O（X）は１０ｍｍより縮まる事になります。

１分は１度の６０分の１(１分＝１／６０°)で、１６分＝１６／６０°＝０．２６６６６．．．．°ですので、３５°１６’＝３５．２６６６．．．．°となります。

X=１０mm（A’－O’）×ｃｏｓ３５．２６６７°（三角関数表で０．８１６４７３２９．．．°）≒８．１６mm（A-O）

つまり10ｍｍだったA’－O’は傾けることによりA-Oは８．１６mmという事になります。

出典

このサイトに理由っぽいものが書いてあるようです。いや書いていませんでした。

等軸測投影の35° 出典

このサイトにそれっぽいものが文系の私には難解な方法で書いてあります。

どうやらarcsin1/√３で出るようです。時代は便利になりました。計算ソフトがあります。

等軸測投影の角度

このようにでました。35°と出ているのであっているようですね。

アークサイン、どこか遠い記憶に・・。というかWは√３なんですね。√2だと思っていました。あれ。一辺を1とした場合の対角線はルート２ですよね。あれそもそもWとHは同じ√２なのでは。

いや違う一辺の長さと同じになるので、１は１でいいんですよね。たしかにhは１です。なぜwが√３なのかが問題です。

√3

たしかに図ってみると1.75近く、つまり√３なんですよね。

ああ、三平方の定理か・・

出典

そんなのありましたね。そうかa√２は４５℃のときでした。今回は６０°なので、1:2:√3なんですね。こういうわかった！！ってときの感じたまらないですよね。

三平方の定理と軸測投影

逆三角関数

こういうことですね。

√３について

なぜ逆三角関数の計算式がそうなるのか、なぜ斜辺が√３になるのか、それはわかりません。ただθが３５°なので三平方の定理は使えません。違う方向から√３を導き出すのだと思います。たとえば角から角への線の長さを√３だとすると、同じように右側面でも角から角の長さになるので√３だというふうな理解です。

最後にアニメーションを作ってみたので確認します。

斜投影(斜軸測投影)

そうですよね、わからないですよね。こんな文字だけで言われたってわかるわけがない。

正投影と斜投影と軸測投影　出典

正投影と斜投影、軸測投影の素晴らしい比較図があったので使わせていただきます。なるほど軸測投影のように立方体は動かさずに、人間側の視線を変えるんですね。

ほー、わからん。なるほどまったくわからん。どう便利なんだろう。どこで使うんだろう。

カバリエ投影

出典

こんなカバみたいなかわいい名前をしているが、意外と数学っぽい話になりそうなんだ。「例題で学ぶ図学　第三角法による図法幾何学」で使われている図説とスライドの図説がほぼ同じだが、有名な図説なのだろうか。

当然というかやはり、サインコサインタンジェントが出てくる。文系にはδの読み方すらわからない。調べてみるとデルタと読むらしいです。あーそういえば習った気がします。ちなみにμはミューと読みます。

カバリエ投影では正面図の情報をそのまま使います。ということは、考えなければ行けないのは水平面と右側面なわけです。つまりTとR(S)です。

そこで、どのくらいの奥行きにすればいいのか？という計算をしなければいけないらしいです。

おそらく上の図はμ=1/1(つまり１)で、δ=４５°です。これはアナログの定規ですべて等しいことを確認しました。もちろん角度も。三角関数の計算を文系が必ずしも抑える必要はなく、計算ソフトを使ってしまいましょう。検索するとでます。

どうやら毎回逆三角関数を行う必要はないみたいです。作図のときにはμやδの値が与えられるそうです。参考書には３０°、４５°、６０°の例が挙げられていました。

δ＝４５°でμ＝1/2の場合をキャビネット投影(カビネ投影)というらしいです。カバリエ投影は奥行きが不自然になりがちなので、奥行きを半分にしたというわけですね。

カバリエ投影とキャビネット投影

CADで立方体をδ=45°、μ=１で書いてみました。μを1/2にするだけでキャビネット投影にできるんですね。キャビネット投影のほうが自然な立方体に見えます。

絵に使えるかどうかはわかりません。純粋に設計図として使用するなら正投影のほうがいいかもしれませんが、説明書で立体的に説明する時にキャビネット投影は有用かもしれません。

立体的に説明するなら透視投影でもいいじゃないか！という場合もあるとは思いますが、奥に行けばいくほど線の長さが変わってしまうと問題が生じる場合があります。

たとえば木材Aが長さ20センチが2個あるとします。しかし同じ20センチなのに奥にある木材が短く見えてしまうとどうなるでしょう。ある消費者は、木材Aより短い木材Bがない！と困惑するかもしれません。そんなばかな！と思うかもしれませんが、説明書では同じ長さのほうがわかりやすかったりするものなんでしょう。逐一これは木材Aですよ!と示すのも一つの手かもしれませんね。

blenderでも同じ長さなの透視投影で見ていると錯覚が起きてしまうのです。ほんらいなら自然な見え方なのですが、あれ、20センチより短いぞ？もっと長くしちゃおうとサイズを変更した結果狂ってしまうことがあります。したがって、長さを揃えたいときは平行投影モードにして揃えてあげる、というのも一つの手なのです。

そういった意味では透視投影以外に平行投影を使う意味はあるといえます。ガバリエ投影もキャビネット投影も平行投影の一種です。

ミリタリ投影

これは結局ガバリエ投影とほぼ同じですね。

練習問題としてδ=45、μ＝１の立方体を描けというものがありました。

ミリタリ図

平面図とは、つまり上から見た図です。たとえばいっぺんの長さが１センチの立方体を想定します。そうすると、上から見て、かつ角度が４５°になっているとこうなります。

ミリタリ図

μ=1なので、縦に伸びる長さもそのまま１になります。あとはつなげていくだけです。もし一辺が45センチなら、45センチ縦に伸ばせばいいだけです。μ=0.5なら、縦に22.5センチ伸ばすことになりますね。

ミリタリ図

もしμ=1/2ならこうなるのではないでしょうか。あまり自然には見えません。1/2にして自然になるのはキャビネット投影だけなのかもしれませんね。

参考文献リスト

1：「例題で学ぶ図学　第三角法による図法幾何学」,伊能教夫,小関道彦,森北出版株式会社

この本は意外ととっつきやすかったのでぜひ手にしてみてください。

２：「わかりやすい図学と製図」,住野和男,Ohmsha

難しいですが、より専門的で多くの知識が得られそうです。中級者向けだと思います。球体の描き方など、絵に通ずる内容もあります。

３：「図面の描き方がやさしくわかる本」,西村仁,日本能率協会マネジメントセンター

図形の書き方といういより、製図のルールが多い印象でした。

２：正投影図(WIKI)

３：第三角法 MAU　

４：https://slidesplayer.net/slide/11375695/(鄭聖熹さんという教員の方のスライドのようです。この人はスライドがわかりやすい。)

５：https://slidesplayer.net/slide/11232072/

円をきれいに描く方法あるのか

ただ練習すればいい、というのは正論であり暴論だと思います。絵は確かにデッサンや模写を繰り返して行うことで確実に上手くなっていくものだと思います。ただ私は絵を描くこと自体より仕組みというか理論というかそういうものが好きなので今回精神論的なものはひとまず棚に上げておきます。

いずれにしろデッサンの繰り返しで体がある種のコツを身に着けていくのだと思います。理論として言語化できなくても、そうしたなにかを上手い人は掴んでいるはずです。「慣れているから、体が勝手に覚えているから」と感覚としてはそういうものですが、突き詰めればなにかコツというかメルクマールがあるはずなのです。ギターの弾き方も同じようなものがあると思います。

また意識を持ってデッサンすることで、何も考えずにただデッサンするのとでは効率化という意味でも違ってくると思います。私が絵を描く人のためになにか手助けできるのはこういった側面だと思っています。

今回の目的は「正方形における円のネガスペースを見つけること」です。ネガとはポジではない部分を指し、ポジとは今回のケースでは円を指します。つまり正方形から円を引いたスペースがネガになるわけです。ネガには円が描写されないという意識を身に着けることで、すこしでも円がきれいになるのではないかという仮説です。

https://drawpj.com/draw-perfect-circles-freehand/

たとえばこのサイトのように、メルクマールとなる点を見出してきれいに円を描くというものがあります。このメルクマールを心の目で見出している人は、この点がなくてもきれいに円を描けているのだと思います。

さてこのメルクマールは正確にはいくつでしょうか。

補助線を使って円を考える

円の描き方

８分割をベースに考えればこのような補助線が出来ます。

円の描き方

これがベースの８分割です。

円の描き方

全部引く必要はありません。単純に呼ん分割の対角線を利用すれば８分割を見つけることができるからです。

円の描き方

重要なのは四分割線と対角線の接点です。これを見つけていきます。左右合わせて8個あります。

円の描き方

結び合わせると8角形になりますね。ポイントはポジに対するネガが1/16というところでしょうか。8分割をさらに分割したスペースです。

円の描き方

ネガとはポジではない部分のスペースです。ここでいうポジは８角形です。

円の描き方

さらに加えるとしたら、十字に相当する４つの点ですね。結ぶとこうなります。

円の描き方

円に近づきましたが、本来の円の丸みには届いていません。

円の描き方

さて残りの点は難しそうです。偶数の分割ではもともと届かないのかもしれません。奇数にしてみると、ちょうど見つかりました。ちなみに27*27です。

円の描き方

違う分割でも探してみましたが７*7もわりと近いですね。いわゆる最小公倍数？ってやつですかね。

円の描き方

27*27の倍も割合で言えばネガは1/7ですからね。

円の描き方

さてルートにするとどのくらいになるのか。3√２くらいですね。√２が1.4くらいなので、4.2ですね。ちなみに対角線は辺が１の場合、√２になります。

円の描き方

さて最小公倍数にすれば√２になりますね。つまり1.4くらいです。

つまり角を利用するなら９分割が望ましいかもしれません。

なんとか８分割ベース、あるいは４分割ベースで解決する方法はないものか。たとえば８分割ベースの場合は対角線の中心から角までの長さが４√２になります。

円の描き方

1.4(1/5.5)=0.25という結果が出ました。

つまりネガから数えて√2+0.25ということになります。1.65くらいですねざっくり。これは使えそうもないかもしれない。でもある種の目安にはなる。しかし奇数と偶数の分割を同時に存在させようとすると複雑になってしまう。

円の描き方

やはり対角線以外の、つまりこの12角形を基本形として、あとは丸みを自分で補完すればいいのではないかということです。作業のひとつとして、√2+1/4√2という知識はあってもいいかもしれません。なくても困らないでしょう。

いちいち対角線を引くのはめんどう？

たしかにそうだ。

そもそもどういう意図で円をきれいに描くかによると思います。

円の描き方

今回は顔で使いたいので、ルーミスの6分割を想定して円のポイントを探していきます。

わかりやすい点が1/4にありました。6分割の中に4分割を織り交ぜるのは複雑なようですが、意外とそこまでではないです。

√２をさらに1/4したところと考えてもいいですね。0.35くらいです。

正確には1/4の線上にあるわけではなく。1/8の線上にあります。1/8はわかりにくいので、1/4の正方形を作って対角線を作り、その中心という形にしたほうがわかりやすいと思います。

円の描き方

めやすはこの八角形ですね。

フリーハンドでは正方形さえかければましな円が描けるのではないか

そういわれればそういう気もします。正方形のかわりにきれいな十字でもいいかもしれません。

結局どこまで正確性にこだわるかということになりますね。デジタルなら図形ツールできれいな円をつくれてしまいます。結局はフリーハンドでどうするかというアナログの問題になってしまうかもしれません。それもコンパスを使えばいいのでは？というそもそも論がでてきそうです。

妥協案

まず8分割はめんどうです。わかりにくい。いちいち分割してから円を描くのはたしかに面倒だ。製図や建築ならその必要があるかもしれない。でも落書きやデッサンでそのようなことはしたくない気持ちもわかる。かといってデジタル描かない人もいるから、デジタル定規を使えともいえない。

さらにアナログ定規も使いたくないという人もいそうだ。

円の描き方

そこでまずは3分割のうちの1分割を目安に妥協してしまうのはどうだろうか、と考えた。だがそれは失敗だと気づいた。円が小さくなってしまうし、十字の点がうまく活用できない可能性がある。

円の描き方

なんとか√2＋0.25に近づけたい。そしてこの2.5に関連する線を見つけることにした。これもあまり使えそうもない。1を5:7にわけるという作業がそもそも面倒なのだ。

円の描き方

もっと妥協できる道はないのだろうか。こんなのはどうだろうか。このくらいなら妥協できる気もする。８分割ベースは十字を利用しやすいので、そこまで複雑ではない。さらに増やせば容易に１６分割ができる。

円の描き方

イメージとしてはこのようなネガスペースを定義することで、ポジである円が描きやすくなる感じだ。

問題は5:3をうまく定義できるかという点にある。

円の描き方

あるいは6分割ベースで一部に12分割を取り入れるという方法がある。6*6では2:1+1/2、12*12では4:3になる。

ルーミスの顔ではベースが６*6なので役立つケースがあるのかもしれない。ただきれいな円を簡略的に描きたいなら2*2ベースを基準にして考え、8*8を部分的に取り入れて5：３に分けて補助線をひけばいい。

十字から構成する

円の描き方

アナログフリーハンドを想定した場合、まずは自力で均一な十字を構成する。これができなければ始まらない。こればかりは訓練するか、定規を使うかしないとだめだ。線の等分感覚というのはある種の集中力を必要とするので、そういうところ絵の上手さが立ち現れてくるのかもしれない。

円の描き方

つぎは正方形を十字を使って構成します。

次に「対角線の点」をみつけます。今回は８分割ベースを使います。

円の描き方

今回はすべて８分割にするのではなく、部分的に分割します。まずはこれで左上の正方形がさらに分割されました。つまり左上だけ4*4ベースになります。

円の描き方

さらにまた左下の正方形を分割すれば、そこだけ8*8になります。

円の描き方

さらに分割すれば16*16です。

円の描き方

正確に分割したい場合で定規もない場合、かつ感覚的な等分に地震がない場合は対角線を使うといいかもしれません。

円の描き方

16にすることによって4分割したときの各正方形が8分割されることになります。つまり5：3にわけることができるようになります。部分的に分割することで作業を省略できています。

円の描き方

同じ作業をほかの角にも行います。

円の描き方

これでネガスペースが確保でき、円も描きやすくなるはずです。このような複雑な工程を得ないでも、単純に√2+1/4を目安にするといいかもしれません。抽象的な言い方をすれば、対角線の中心から角までの長さの1/3より少しだけ長い点です。

円の描き方

6分割ベースでも同じように分割していくだけです。割合はさきほどとは違います。

円の描き方

これでネガスペースができます。

これが役立つかどうかはわかりませんが、分析するのはとてもおもしろかったです。すべてのネガを特定してしまえばポジだけになり、より正確な円を構成することが出来ます。しかしそれでは作業が大変なので、特定のネガを見つけてポジを描きやすくするというのがポイントだと思います。少ないコストでどれくらいのパフォーマンスができるか、そういった問題だと思います。

円の描き方

ちなみにひとつの対角線上の点がみるかれば、ほかの点を見つけるのは容易です。ほかの対角線まで直線を伸ばしていくだけです。

3分割を構成する場合

円の描き方

三分割の場合は斜線をうまく使いましょう。３分割と書いていますが、１辺を３に分割するという意味で、3*3という意味です。実際には９分割です。

正方形を分割する方法とは、やり方(2分割、3分割、5分割)

円の描き方

さらに対角線をつかえば正確に部分的な6分割や12分割を行うことが出来ます。

円の描き方

先程の円を適用させるとこうなります。

円の描き方

ちなみに対角線を利用した方法では、この方法もありますがやや複雑ですね。

【アナログ】正方形を分割する方法

5分割か６分割か

６分割は作りやすいけど、５分割は作りにくい。

実際に紙と鉛筆を用意して正方形で５分割と６分割を作ってみてください。どちらが作りやすいでしょうか。

2分割できればその乗数の分割が可能になります。つまり2,4,8,16…といったような2のn乗の分割ができます。2倍ずつ増えていくわけですね。

クロス線を使うことにより、たいていの図形は２分割にできます。したがって一度３分割してしまえば、そこから６分割、12分割とできます。5分割の場合も10分割、20分割とできます

一度3分割や5分割ができてしまえばそこから分割してくのは簡単です。しかしいわゆる素数の最初の分割がむずかしいのです。

2,3,5,7,11などの正の約数が 1 と自分自身のみであるもののことを素数といいます。

分割は縦(もしくは横)のみによる分割と、縦と横による分割に大きく分けることができます。例えば正方形の中心に縦線を引くと、2分割されます。さらにその正方形の中心に横線を引くと合計4分割されます。

縦(もしくは横)のみを4分割したいのか、縦と横を合わせて4分割したいのかは異なる分割ということです。

２分割もしくは４分割する方法

まずは普通の四角形を作成します。

ここから４分割をきれいに引くために、対角線を引きます。

線が対角線の中心に当たるように線を引けば、ちょうど２×２マスできます。縦と横を２分割すれば合計４分割したことになりますね。

このように対角線を引くと、半分の線の長さがわかるという規則があります。たとえば４分割の内の１分割の半分の長さをしりたければ、さらに対角線を引けばOKです。

３分割もしくは９分割する方法

３分割は４分割からの応用になります。４分割をした後、さらに三角形を中心に向かって作成しましょう。青い線です。

さらに青い線と、赤い対角線が交わるように線を引いていきます。

横にも線を引けば3×3マスの分割(９分割)が可能になります。

６分割もしくは３６分割する方法

３分割(９分割)をさらに６分割(３６分割)にすることもできます。

基本原則として対角線を引けば２分割できるということを最初に学びました。３分割のうちの１分割の対角線を引けば、3×2で合計6分割になります。対角線は必ずしもクロスさせる必要はなく、片方の斜線だけでもOKです。

6分割の縦の線と、最初に2分割した赤い線が重なるところに横線を引くと6×6マスに分割できます。

５分割もしくは25分割する方法

25分割は6分割から応用させてつくります。5分割はすこしヤヤコシイので注意です。

６から７ではなく、５から７なので注意してください。5から７への線を引いた後、６分割の縦線と重なるところにチェックを入れていきます。横線ではないので注意です。

チェックしたところに横線を引いていきます。これで横を５分割できました。

縦に５分割したい場合は、４分割の線(赤色)を利用します。４分割の線(赤色)と５分割の横線(緑)が交わるところにチェックを入れて、縦に線を引くだけです。

これで縦と横合わせて25分割(5*5)完成ですね。

･かなりメンドクサイですね｡

はい。

･面倒くささを回避する方法とかないんですか？｡

とくにないですね。あるといえばありますが、それは後ほど記事します。ざっくりいえば基準線の定義を行い、その線を伸ばしていく地道な方法です。

アナログでは定規を使ったり、マス目がはいった紙をつかったり、マス目があるバインダーの上で描いたりといろいろ楽に５分割できる方法は考えられます。ただフリーハンドとなると、この分割方法しかないでしょうね。他にもあるかもしれませんが、現段階で私が知っているのはこれだけです。

デジタルではこうした分割は簡単にできてしまいます。デジタルの定規を使ったり、グリッド線を使ったりすればいいだけです。グリッド線の分割を5分割にすれば、5分割の図形が簡単に作れます。あるいは基準線をコピーペーストしてもつくれます。

二次元曲線の反転描画とはなにか

【テクニックその１】

１：まずは四角形を作る

２：✕印をつくって辺の半分の長さを知る

３：適当に曲線を描く

4：写しとる

これだとまだ少しズレてしまいます。さらに点を足していきます。

５：写しとる点を足す

７：さらに写しとる点を足していく

8：さらに写しとる点を足していく

９：整理

ざっと今の手順をもう一度別の曲線でやると次のようになります。

テクニックその２

これは最初から四角形を書くのではなく、自由に描いた曲線を四角で囲み、反転描写をするという方法です。基本的にやり方は上と同じです。

透視図法でも基本は同じです。

（フリーハンドで適当です）

【デジタル・クリスタ】反転描画

デジタルだともっと簡単に反転描写をすることができます。曲線をコピーしてから、左右反転や上下反転を行い、自由変形で位置を合わせるだけです。

グリッドをつけると作りやすいかもしれません。

デジタルだと複雑な線も簡単に反転描写できます。